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Quelques liens sur Edouard Lucas

En feuilletant les comptes-rendus de la 13e session de l’Association française pour l’avancement des sciences tenue à Blois en septembre 1884, j’ai découvert une conférence sur le calcul et les machines à calculer (accessible aussi ici) .

Voulant en savoir plus sur son auteur, Edouard Lucas, je n’ai pas tardé à me rendre compte qu’il était assez connu, Continuer la lecture de Quelques liens sur Edouard Lucas

Jean Stouff

Ancien étudiant d'histoire. Bibliothécaire.

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Compter avec les doigts de la main

L’idée de cette mini-chronique remonte à plusieurs mois, quand j’ai lu sur le carnet de Philippe Cibois, La question du latin, un article intitulé « Compter sur ses doigts à Rome » d’où il ressort que cette activité est bien un acquis culturel qui ne va pas de soi. En effet, la façon de compter sur les doigts varie dans le temps et aussi dans l’espace, ce que  nous confirme un article de Wikipédia. Cependant la meilleure source sur la question reste l’Histoire universelle des chiffres de Georges Ifrah (Bouquins, 1994), et spécialement son chapitre 3 intitulé « La main, première machine à compter »(1). Cette chronique s’en est beaucoup inspirée. (Dernière mise à jour : 18 avril 2014)

Deux mains = dix doigts

et bien combinaisons possibles

De Rome à la Perse : symbolique et quantité des doigts,

Comme l’écrit Philippe Cibois :

L’écolier d’aujourd’hui peut compter sur ses doigts mais, s’il s’en sert pour ajouter un nombre à un autre, il ne peut ajouter que des nombres au plus égaux à dix. Les anciens n’avaient pas cette limite.

En effet, alors que la méthode utilisée actuellement en France est simplement fondée sur la quantité de doigts levés (ou fermés), ce qui ne permet pas d’aller au-delà 10, celle utilisée par les Romains permet de compter jusqu’à 9 999 en combinant quantité et symbolique des doigts. Elle a été décrite au VIIIe siècle par Bède le Vénérable dans son De temporum ratione, dans le chapitre intitulé « De computo vel loquela digitorum » :

Quand tu dis « dix », tu place l’ongle de l’index sur l’articulation médiane du pouce.

Avec « vingt », tu places l’extrémité du pouce serrée entre l’index et l’impudique (le majeur).

Theatrum arithmetico-geometricum, Jacob Leupold (1757)

Dans ce système, illustré ici par des gravures extraites d’un livre de Luca Pacioli paru à Venise en 1494, la  Summa de arithmetica (ci-dessus),  la main gauche sert à exprimer les unités et les dizaines et la main droite à exprimer les centaines et les milliers en reprenant strictement les mêmes positions, mais les deux mains ensemble(2).

Outre l’ouvrage de Bède, Georges Ifrah signale un dictionnaire persan du XVIe siècle, le Farhangi Djihangiri, traduit par Silvestre de Sacy, qui décrit une méthode fort semblable à celle expliquée par Bède, la principale différence étant l’inversion du rôle respectif des deux mains qui permettent de compter ainsi jusqu’à 9 999. Les deux ouvrages indiquent de plus comment représenter les nombres de 10 000 (poser au milieu de la poitrine la main gauche renversée, les doigts étant fléchis en arrière vers le cou) jusqu’au million (croiser les deux mains, avec les doigts les uns dans les autres).

Outre la gravure de Luca Pacioli, d’autres documents illustrent cette méthode depuis Egypte ancienne, où cette méthode apparaît sur une peintue funéraire, jusqu’à la gravure extraite d’un ouvrage paru à Leipzig en 1757, le Theatrum arithmetico-geometricum  de Jacob Leupold (ci-dessus)(3) en passant par les manuscrits de Raban Maur (ci-dessous).

A cela s’ajoutent des textes des anciens Grecs et Romains qui ne sont compréhensibles que si l’existence de ce computus digitorum est connue du lecteurs. Georges Ifrah en cite plusieurs. Je n’en reprendrai ici que deux. Plutarque d’abord,  qui, dans sa Vie des hommes illustres,, fait dire au gendre d’Atarxerxès :

De même que dans les calculs, les doigts de ceux qui comptent valent quelquefois dix mille et quelque fois l’unité, de même les favoris des rois peuvent être ou bien tout ou bien presque rien.

Voir ensuite Juvénal qui, dans la Xe de ses Satires, écrit ceci au sujet de Nestor, roi centenaire de Pylos :

Heureux Nestor, qui, ayant dépassé la centaine, compte déjà les années sur la main droite.

Si cette dactylonomie devient en Europe  un des piliers du quadrivium, elle connaît aussi un grand succès dans les pays musulmans(4).

Le cas de la Chine

La méthode utilisée en Chine ressemble par certains côtés à celle de Bède et de l’auteur anonyme du Farhangi Djihangiri, elle combine elle aussi quantité et symbolique des doigts. Si les nombres de 1 à 5 sont exprimés simplement par la quantité de doigts levés, ceux de 6 à 10 sont indiqués par des positions conventionnelles des doigts dont certaines ne sont pas sans rappeler les caractères correspondants :

Extrait de Chine-informations

8 : comme vous le voyez ci-contre, les doigts, s’ils étaient orientés vers le bas, ressembleraient beaucoup au caractère (bā).

10 s’exprime de trois façons différentes : en s’inspirant du caractère (shí) – à moins que le caractère ne s’inspire du geste… – soit en croisant les index des deux mains comme ci-contre, soit en croisant l’index et le majeur ; la troisième possibilité consiste à présenter le poing fermé (cependant, ce dernier geste est églement utilisé pour zéro).

Cette façon de compter connaît quelques variantes pour le 10 comme vu ci-dessus, mais aussi pour le 7 par exemple.

Extrait de Réussir en Chine

Vous remarquerez en outre que si les Chinois peuvent compter jusqu’à 10 avec une main, ils peuvent compter jusqu’à 100 avec les deux mains, la seconde exprimant les dizaines.

Les informations sur cette méthode ne manquent pas sur internet, tout au moins pour les nombres de 1 à 10. Outre Wikipédia, vous pouvez vous reporter aux sites suivants :

Chine nouvelle

Chine informations

Le chinois

Pékin 2008

40000 kilomètres

Réussir en Chine

TravelSteph

ou aux deux vidéos ci-dessous :

Par contre je n’ai pas trouvé grand chose sur une autre méthode utilisée jadis en Chine, qui permettait de compter jusqu’à 100 000 sur une main et jusqu’à dix milliards sur les deux  mains ! Le site Le chiffre y fait rapidement allusion et c’est une fois encore dans l’ouvrage de Georges Ifrah que j’ai trouvé des informations sur le sujet :

Dans ce procédé manuel, chaque articulation sous-jacente à chaque phalange est subdivisée en trois parties : jointure de gauche, jointure du milieu et jointure droite. En sorte que chaque doigt se trouve associé aux neuf unités consécutives d’un même ordre décimal : l’auriculaire droit aux unités simples, l’annulaire de la même main aux dizaine, le majeur aux centaine, l’index aux milliers et le pouce droit aux dizaines de mille ; puis le pouce gauche y est associé aux centaine de mille, l’index de la même main aux millions, et ainsi de suite.

D’écrit en 1593 dans un ouvrage chinois de calcul, le Suan fa tong zong de Cheng Dawei, ce système était encore en usage en Chine au XIXe siècle et se serait même maintenu jusqu’à nos jours.

Hors du système décimal

Vous aurez remarqué que les systèmes présentés jusqu’à présent s’inscrivent dans le système décimal. Il y est question d’unités, de dizaines, de centaines, de milliers etc. D’autres méthodes fondées sur d’autres bases existent. Voici trois exemples extraits d’un document pédagogique de l’Académie de Martinique. Le premier, utilisé par certaines populations des Indes, permet de compter en base 5 jusqu’à 30 avec les deux mains. Le deuxième, qui suit le système duodécimal, permet d’aller jusqu’à 60 en mettant à contribution non seulement les doigts dans leur intégralité pour les douzaines sur une main, mais aussi les phalanges pour les unités sur l’autre.

Le troisième exemple met en jeu ces mêmes phalanges, cette fois sur les deux mains et encore une fois en base 12. Cette méthode permet de compter en base 12 jusqu’à 144, voire jusqu’à 156 sur les deux mains.

Compter jusqu’à 31 sur une main, Wikidébrouillard

 Il existe aussi une méthode pour compter jusqu’à 31 (soit 25 – 1 = 20 + 21 + 22 + 23 + 24) sur une même main, voire même jusqu’à 1023 (soit 210 – 1) avec les deux mains. Elle s’appuie sur le système binaire, chaque doigt valant le double du précédent. Elle est bien exposée sur  sur le blog de Jean Véronis et sur Wikidebrouillard.

Il est aussi possible de compter en base 4 jusqu’à 1 048 575 (soit 410 – 1), en utilisant 4 positions différentes pour chaque doigt : levé, plié, fermé, fermé et tendu. Cependant, ces deux dernières méthodes sont pratiquement inutilisables car elles demandent de la part de leurs pratiquants de grandes capacités de calcul mental

Doigts et nombres premiers, Intelligence politique

Une autre méthode, évoquée sur le site Intelligence politique,consiste à attribuer à chaque doigt la valeur d’un nombre premier, de 1 à 21… sauf que là, il y a comme un problème, 21 (3×7) n’étant pas un nombre premier et devant être remplacé par 23. Mais sur le principe, l’idée n’est pas absurde, la méthode permettant de compter jusqu’à 99 (soit 21 + 19 + 17 + 13 + 11 + 7 + 5 + 3+ 2 + 1) si nous gardons 21, et jusqu’à 101 (soit 23 + 19 + 17 +1 3 + 11 + 7 + 5 + 3 + 2 + 1) si nous prenons 23… 

Compter les jours, les années… et prier

Les systèmes présentés jusqu’à présent permettent de compter n’importe quoi. D’autres sont plus spécialisés. Et ici encore, je reprendrai des informations trouvées dans l’ouvrage de Georges Ifrah.

Ces méthodes servent notamment pour égrainer les jours, les mois, les années. Une technique utilisée en Inde, en Indochine et en Chine méridionale consiste à utiliser toute les phalanges des deux mains pour compter jusqu’à 28 : elle est utilisée notamment pour les besoins du compte correspondant au cycle naturel de la femme, celle-ci nouant chaque jour une cordelette autour de chaque phalange, pour lui permettre dedéterminer le nombre de jours d’avance ou de retard éventuels. Un comput manuel utilisé en Irlande au VIIe siècle décrit par Bède met également en jeu les 28 phalanges pour faire le compte des 28 années du cycle solaire. Et pour compter les 19 années du cycle lunaire, Bède indique qu’il faut faire intervenir les 14 articulations et les 5 ongles de la main gauche. En Inde, ce sont également les articulations avec en plus le gras du pouce qui permettent de compter jusqu’à 15, nombre qui se trouve être celui des jours du mois hindou.

Les doigts peuvent aussi servir de chapelet comme en Islam pour compter les 99 attributs d’Allah. Pour cela, les musulmans utilisent comme dans l’exemple précédents les articulations avec en plus le gras du pouce des deux mains et l’extrémité de l’auriculaire, de l’annuaire et du majeur de la main droite (30 + 3 = 33) et renouvellent l’opération trois fois (3×33=99). Cependant, il existe semple-t-il d’autres méthodes, comme le montre cet extrait d’un forum soufi :

J’utilise chaque intersections des phalange et le bout du doigt, ce qui donne le pouce = 5 et les autres doigts = 7 chacun

7 x 4 = 28

28 + 5 = 33

 Multiplier avec les doigts

Un dernier mot, cette fois à propos de la multiplication avec les doitgs. Il existe plusieurs méthodes.

La multiplication par 9 est sans doute la plus facile à retenir. Pour cela, étendez vos deux mains devant. Les doigts de gauche à droite figurent les nombres de 1 à 10. Comptez à partir de la gauche et pliez le doigt correspondant au multiplicateur. Le nombre de doigts à gauche correspond aux dizaines, ceux de droite aux unités. Par exemple, pour 9 x 3, vous pliez le troisième doigt, ce qui fait 2 doigts à gauche (2 x 10) et 7 à droite, ce qui fait 27. C’est magique ? Un peu, mais c’est surtout mathématiquer et ça se traduit par l’équation suivante où n repréente le nombre multiplié, x le nombre de doigt situé à gauche (x = n – 1) et y le nombre de doigt situé à droite (y = 10 – n) :

10x + y = 10(n – 1) + (10 – n) = 9n

La multiplication des nombres de 6 à 10 est bien expliquée sur le site de Gérard Villemin ou sur Mathsonline. Il s’agit, selon l’image ci-dessous de multiplier les doigts du haut pour obtenir les unités, les doigts du bas correspondant aux dizaines.

Multiplication by Fingers, Math genius

Il existe des méthodes pour les valeurs supérieures à 10. Elles sont exposées sur le site de Maximilian Högner.

Voilà, je pense que ça suffira pour l’instant sur la question. A vous d »essayer, si cela vous inspire.

_________________________

(1) Georges Ifrah. « La main, première « machine à compter » », in Histoire universelle des chiffres, vol. 1, p. 119-155, Laffont, 1994 (Collection Bouquins).

(2) Cf. l’article de Philippe Cibois et celui de Gérard Minaud, « Des doigts pour le dire » (Histoire & mesure, XXI – 1, 2006).

(3) Voir aussi, toujours au  XVIIIe siècle, une gravure parue dans  la Neue Acerra philologica oder Gründliche Nachrichten aus der Philologie, und denen römischen und griechischen Antiquitaeten (1715), à voir sur le site de Pictura Paedagogica Online.

(4) Voir aussi Aristide Marre, Manière de compter des anciens: avec les doigts des mains d’après un petit poëme inédit arabe de Chem-Eddin el Mossouli et le Tratado de mathemáticas de Juan Pérez de Moya, imprimé à Alcala de Henares, en 1573, Rome : Imprimrerie des sciences mathématiques et physiques, 1868. Disponible sur Google livres.

Jean Stouff

Ancien étudiant d'histoire. Bibliothécaire.

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A l’occasion d’une recherche sur Xavier Stouff, mathématicien

Je vous propose aujourd’hui une visite de quelques bibliothèques numériques pour les documents anciens en mathématique. Pour cela, nous partirons d’une recherche sur le mathématicien Xavier Stouff (1861-1903).

Parmi les premières réponses d’une recherche dans Google Xavier Stouff math*, outre sa notice Wikipédia et son livre Sur les lois de réciprocité signalé dans Google livres sans accès au texte intégral, je peux trouver

la base Mathematics Genealogy Project qui tente d’établir les relations de professeurs à étudiants de mathématiques et signale notamment leurs thèses (pour Xavier Stouff, Sur la transformation des fonctions fuchsiennes, soutenue en 1888)

un document pdf de la base Numdam (Numérisation de documents anciens mathématiques) reproduisant les Nouvelles annales de mathématiques de 1903 ; j’y trouve, en faisant une recherche à Stouff

à la page iii du supplément n° 1 de janvier 1903, la référence d’un article de Xavier Stouff « Sur la première lettre arithmétique d’Hermite à Jacobi »  paru dans le Bulletin des sciences mathématiques d’octobre et décembre 1902

à la page 576, une question de Xavier Stouff avec sa solution par H.Gilbert (voir annexe)

Bien, maintenant, si je cherchais le texte intégral de sa thèse ? Je tape dans Google Stouff Sur la transformation des fonctions fuchsiennes et voici ce que je trouve :

La première réponse est la bonne : c’est un document pdf de la base Numdam reproduisant cette dissertation (c’est le terme de l’époque) parue dans les Annales scientitifique de l’E.N.S. 3e série t.5 (1888), p. 219-326

Un certain nombre des réponses suivantes signale le mémoire de la thèse tant dans le SUDOC (vous savez, le catalogue collectif des BU de France…) que dans Google livres, mais sans accès au texte ;

Une  réponse me donne un article de Xavier Stouff « Sur certains groupes fuchsiens et sur une extension de la théorie des formes quadratiques » accessible en ligne sur le site des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Mathématiques

J’ai donc deux bases où j’ai trouvé des articles de Xavier Stouff. Et si je cherchais directement dans chacune d’elles ? C’est ce que je fait. Je constate alors que les 8 résultats trouvés sur le site des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Mathématiques conduisent en fait à des documents de la base Numdam. Les 16 documents trouvés dans cette base me conduisent à 2 réflexions.

  1. Un des articles est de 1871. A cette date, Xavier Stouff n’avait que 10 ans. Impossible qu’il ait publié à cette date dans une revue scientifique, me direz-vous avec raison. Effectivement, cet article n’est pas de ce Xavier Stouff là, mais très vraisemblablement de son père, également prénommé Xavier, professeur au lycée de Metz d’où il a fuit l’invasion prussienne. Cela, vous ne le trouverez pas sur internet, tout au moins pas encore, et Wikipédia en l’occurence ne vous apprendra rien de plus : la notice concernant Xavier Stouff m’est redevable pour 99% de son contenu. Certaines informations relevant de traditions orales familiales ne sont pas et ne seront peut-être jamais rédigées. Combien d’informations se perdent ainsi chaque année avec la disparition de ceux qui les détiennent inconsciemment ?

  2. L’article repéré précédemment « Sur la première lettre arithmétique d’Hermite à Jacobi »  paru dans le Bulletin des sciences mathématiques d’octobre et décembre 1902 ne figure pas parmi ceux accessibles dans Numdam où n’ont été numérisés que les tomes parus entre 1870 et 1884. Une recherche dans Gallica me permet de constater que les tomes parus entre 1885 et 1937 y sont accessibles à quelques lacunes près… dont fait malheureusement partie le tome de 1902.Et si celui-ci est bien accessible dans Archive.org, je ne trouve pas de Stouff dans la table des auteurs. La référence serait-elle erronée ?

Je me lance alors dans plusieurs recherches dans Google – je passe le détail des différents termes employés – et je trouve :

Henri Poincaré. La correspondance avec les mathématiciens de J à Z dans Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, tome 10 (1989), p. 83-29 sur Numdam. Voici l’extrait concernant Xavier Stouff :

 

 Dans le Jahrbuch Database, de nombreux articles de Xavier Stouff sont accessibles.

Bon j’arrête là pour l’instant. En attendant, voici les articles des Xavier Stouff en ordre chronologique et avec les liens vers le texte intégral :

1871

Note sur la détermination des facteurs premiers d’un nombre. Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Sér. 2, 10 (1871), p. 104-107 (article du père de Xavier Stouff : Xavier Stouff)

1888

Sur la transformation des fonctions fuchsiennes. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 3, 5 (1888), p. 219-326

1889

Sur certains groupes fuchsiens et sur une extension de la théorie des formes quadratiques. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Mathématiques, Sér. 1 Vol. 3  (1889), p. B1-B28

1890

Sur de nouvelles fonctions harmoniques à trois variables analogues aux fonctions thêtafuchsiennes. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Mathématiques, Sér. 1 Vol. 4 no. 1 (1890), p. A5-A19

Sur certains groupes fuchsiens formés avec les racines d’équations binômesAnnales de la Faculté des Sciences de Toulouse Mathématiques, Sér. 1 Vol. 4 no. 4 (1890), p. P1-P25

1891

Sur des fonctions voisines des fonctions modulaires. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Mathématiques, Sér. 1 Vol. 5 no. 3 (1891), p. C1-C16

1892

Sur une classe de surfaces minima. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Mathématiques, Sér. 1 Vol. 6 no. 1 (1892), p. A5-A12

Sur la composition des formes quadratiques quaternaires et ses applications aux groupes fuchsiensAnnales de la Faculté des Sciences de Toulouse Mathématiques, Sér. 1 Vol. 6 no. 2 (1892), p. G1-G19

Sur la valeur de la courbure totale d’une surface aux points d’une arête de rebroussement. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 3, 9 (1892), p. 91-100

1893

Sur les lignes asymptotiques de quelques surfaces algébriques. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 3, 10 (1893), p. 45-52

Les lois de réciprocité et les sous-groupes du groupe arithmétique. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 3, 10 (1893), p. 295-314

Sur les lois de réciprocité et les sous-groupes du groupe arithmétique. Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences. Paris, T. 116 (1893), p. 308-309.

1894

Sur différents points de la théorie des fonctions fuchsiennesAnnales de la Faculté des Sciences de Toulouse Mathématiques, Sér. 1 Vol. 8 no. 2 (1894), p. D1-D20

Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre. Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences. Paris, T. 118  (1894), p. 1320.

1896

Sur les rapports entre la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre et la théorie des surfaces. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 3, 13 (1896), p. 9-40

Sur une application des fonctions elliptiques. Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Sér. 3, 15 (1896), p. 262-266

1898

Sur les lois de réciprocité.  Paris : A. Hermann, 1898.  31 p ; in-8°.

Sur les lois de réciprocité. Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences. Paris, T. 126 (1896), p. 812-814

1902

Remarques sur quelques propositions dues à M. Hermite. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 3, 19 (1902), p. 89-118. Résumé dans le Bulletin des sciences mathématiques de 1903.

Sur la première lettre arithmétique d’Hermite à Jacobi.  Bulletin des sciences mathématiques (oct./déc. 1902)

1903

Théorie des formes à coefficients entiers décomposables en facteurs linéairesAnnales de la Faculté des Sciences de Toulouse Mathématiques, Sér. 2 Vol. 5 no. 2 (1903), p. 129-155

 

 

 

 ANNEXE

1943.
( 1902, p. 48o.)
Si une conique variable a un contact du quatrième ordre avec une courbe fixe quelconque le lieu de son centre est une courbe tangente à la droite qui joint ce centre au point de contact. (X. STOUFF.)
SOLUTION Par M. H. GILBERT.
Le lieu des pôles d’une droite D par rapport aux coniques qui ont un contact du troisième ordre en un point fixe avec une conique fixe est une droite A; car ces coniques forment un faisceau tangentiel. Cette droite passe évidemment parle point fixe Deux coniques infiniment voisines qui ont un contact du quatrième ordre en deux points consécutifs avec une courbe quelconque ont un contact du troisième ordre et leurs centres sont deux points infiniment voisins d’une droite A.

Jean Stouff

Ancien étudiant d'histoire. Bibliothécaire.

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André Cauty et la numération maya

Voici quelques années, je m’intéressais aux nombres et à leur histoire, ainsi qu’aux calendriers divers en usage chez les différents peuples  d’hier et d’aujourd’hui. C’est ainsi que j’étais tombé sur différents articles d’André Coty, notamment ceux inclus dans le dossier de Culture Math sur les numérations anciennes ou dans les études du Centre d’Etudes des Langues Indigènes d’Amérique (CELIA).

Ce professeur en épistémologie et en histoire des sciences à l’université de Bordeaux, chercheur en linguistique, n’est pas seulement l’auteur d’articles pointus, mais aussi un homme de terrain préoccupé de protéger les populations amérindiennes d’un ethnocide (plus d’infos Wikipédia et sur le site du CELIA).

Voici qu’il ouvre sur Hypothèses un carnet intitulé Intelligence Arithmétique Maya. A suivre donc, et avec le plus grand intérêt…

Jean Stouff

Ancien étudiant d'histoire. Bibliothécaire.

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